Априорная оценка точности рассчитанных координат

Априорная оценка точности измеряемых навигационных характеристик основывается на бессчетных статистических исследовательских работах, которые происходили до определенной обсервации. В качестве основного параметра для априорной оценки точности измеряемых величин применяется средняя квадратическая погрешность измеряемого навигационного параметра m .

Особенностью определения координат является тот факт, что измерения косвенные, другими словами измеряются навигационные характеристики Априорная оценка точности рассчитанных координат, и их погрешности потом переносятся в погрешности координат. Разглядим функцию переноса погрешностей измерений в погрешности координат на примере ОМС по двум измерениям.

В данном случае линеаризованная система воспринимает вид:

(2.21)

Потому что в измерениях находятся погрешности , то это приведет к погрешности вектора оценок и система перепишется в виде:

, (2.22)

Тогда

,

Откуда

(2.23)

Формирование ковариационной Априорная оценка точности рассчитанных координат матрицы погрешности измерений производится по формуле

, (2.24)

тут D – обозначение ковариационной матрицы либо , что тоже самое ,знак дисперсии вектора вектора .

Для двумерного варианта умножение смотрится так:

,

а операция математического ожидания , выполненная над матрицей превращает ее в ковариационную матрицу D:

.

На главной диагонали D находятся дисперсии измеряемых навигационных характеристик, а вне диагонали - ковариационные моменты, которые Априорная оценка точности рассчитанных координат охарактеризовывают статистическую связь меж измерениями.

Аналогично определим ковариационную матрицу погрешностей определяемых характеристик, используя правила матричного исчисления и ,

получим:

В предстоящем при написании ковариационных матриц, где это не заносит двузначности, будем опускать аргумент при D.

И так, ковариационная матрица погрешностей координат N рассчитывается так:

(2.25)

Для двумерного варианта матрица N Априорная оценка точности рассчитанных координат имеет вид:

,

где n11 - дисперсия погрешностей широты, n22 - дисперсия погрешностей отшествия, n12 = n21 - ковариационные моменты.

Вся информация о погрешностях содержится в матрице N. В судовождении нередко употребляется ее геометрическая интерпретация в виде эллипса погрешностей. Установим связь меж элементами матрицы N и параметрами эллипса: полуосями и углом ориентации.

В Априорная оценка точности рассчитанных координат общем случае такая задачка рассматривалась Хоттелингом Г. в 1933 г. и им было показано, что для ковариационной матрицы есть векторы, фронтам которых соответствуют наибольшие и малые значения рассеивания (погрешностей). Численно эти значения соответствуют своим числам матрицы. Направления собственных векторов, указывающие на направление наибольшего и малого рассеивания (дисперсии), соответствуют фронтам полуосей эллипса Априорная оценка точности рассчитанных координат. Собственные числа - это экстремальные значения дисперсий. Для перехода к линейным величинам - полуосям эллипса (гипер - эллипса для n-мерного места), нужно извлечь квадратный корень.

Разглядим эту задачку для двумерного варианта, другими словами для плоскости. Физика и геометрия собственных чисел и векторов состоит в том, что результатом умножения начальной матрицы на свой Априорная оценка точности рассчитанных координат вектор будет вектор, коллинеарный собственному, по длине отличаясь в число раз, пропорциональное собственному значению. Математически это запишется так:

(2.26)

Поставим численный опыт, который прояснит данный факт.

Выполним умножение Nz, где в качестве z будем выбирать единичный вектор с направлением Y от 00 до 3600 . Формирование компонент единичного вектора выполним по формулам Априорная оценка точности рассчитанных координат:

В качестве примера возьмем матрицу

(2.27)

В итоге перемножения конец вектора p обрисует эллипс. (Рис.2.4)

Функцию умножения матрицы N на z можно рассматривать как оператор, модифицирующий единичный вектор z. После перемножения вектор изменит направление и длину. Ниже приведены результаты такового перемножения с дискретностью в один градус, а составляющие вектора p (значения Априорная оценка точности рассчитанных координат x и y), приведены в таблице 2.1

Табл. 2.1

Y Y1 x y R
8.13 21.000 3.000 21.213
8.48 21.049 3.139 21.282
8.83 21.092 3.277 21.345
9.18 21.128 3.415 21.402
9.53 21.158 3.551 21.454
9.87 21.182 3.686 21.500
10.22 21.199 3.820 21.540
10.55 21.209 3.953 21.574
10.90 21.213 4.084 21.603
11.24 21.211 4.215 21.625
11.58 21.202 4.344 21.642
11.92 21.187 4.471 21.653
12.26 21.165 4.598 21.658
12.60 21.137 4.723 21.658
12.93 21.102 4.846 21.651
13.27 21.061 4.968 21.639
92,48 -0,322 7,432 7,439
95,38 -0,692 7,358 7,390
98,30 -1,062 7,281 7,358
101,24 -1,432 7,201 7,342
104,19 -1,801 7,120 7,344
107,13 -2,169 7,037 7,363
110,05 -2,537 6,951 7,400
112,94 -2,905 6,863 7,453
115,78 -3,271 6,773 7,522

В первом столбце таблицы находится направление единичного вектора z, а во 2-м, направление уже перевоплощенного вектора - вектора p. В последнем столбце содержится длина R вектора p. Из расчетов, приведенных в таблице видно, что расхождение в Априорная оценка точности рассчитанных координат направлении вектора z и вектора p величина переменная, но в районе 120 и 1020 эти направления совпадают. Не считая того, этим фронтам соответствуют наибольшее и малое значение длины R. Таким макаром, направления собственных векторов 120 и 1020 соответственно, они ортогональны. Собственные значения равны примерно 21.658 и 7.342 соответственно.

Для двумерного варианта можно получить обыкновенные формулы для расчета характеристик Априорная оценка точности рассчитанных координат эллипса погрешностей из матрицы N. Делая упор на выражение (2.26), запишем.

n11 z1 + n12 z2 = lz1

n21 z1 + n22 z2 = lz2 (2.28).

либо,

(n11-l)z1 + n12z2 =0

n21z1 + (n22-l)z2 =0

либо в матричном виде:

(N - lE) z = 0

где - нулевая матрица.

Формально получаем:

Det(N-lE)Z=adj Априорная оценка точности рассчитанных координат(N-lE)*0

как следует, Det(N-lE)Z= 0.

Потому что Z случайный вектор и, в общем случае не нулевой, то

Det(N-lE)=0

Запишем для двумерного варианта:

(n11 - l) (n22 - l) - n21 n12 = 0

Это квадратное уравнение. Решая его относительно l и, принимая во внимание, что n21 = n12 , потому Априорная оценка точности рассчитанных координат что матрица N симметрическая, получим:

(2.29)

Подставив значения из матрицы (2.27), получим l1 = 21.659 l2 = 7.341

Эти значения фактически совпали с наибольшим и наименьшим значением из таблицы.

Определим ориентацию собственных векторов, соответственных отысканным своим значениям. Считая l известным, подставим это значение в (2.28) и разрешим эту систему относительно z1 и z2,беря во внимание, что z1 = cos Априорная оценка точности рассчитанных координат(Y), z2 = sin(Y) .

1-ое уравнение системы 2.28 будет смотреться так:

n11 cos(Y) + n12 sin(Y) = l cos(Y)

Разделим 1-ое левую и правую часть на cos(Y).

n11 + n12 tg(Y) = l

Откуда

. (2.30)

(2.31).

Подставив числовые значения, получим Y = 12.3880

Таким макаром, практически получено направление большой полуоси эллипса Y относительно Априорная оценка точности рассчитанных координат норда. Если в (2.31) подставить другое значение l то получим направление малой полуоси, но потому что они ортогональны, то фактически это не требуется.

Для отыскания полуосей нужно извлечь квадратные корешки из собственных чисел.

(2.32)

Когда молвят об оценке точности, то обычно добавляют слова априорная либо апостериорная. Априорная - это оценка точности, выполненная по Априорная оценка точности рассчитанных координат инфы о погрешностях измерений приобретенной ранее. Обычно, такая информация о точности измеряемых навигационных параметровосновывается на бессчетных статистических исследовательских работах, которые происходили до определенной обсервации в каких-либо осредненных критериях. Конкретно такая информация, обычно, содержится в ковариационной матрице погрешностей измерений применяемой при расчете координат. В формуле (2.18) она обозначена Априорная оценка точности рассчитанных координат как D . Если погрешности измерений статистически независимы, то внедиагональные элементы равны нулю и матрица имеет вид:

Конкретно эти погрешности в согласовании с правилом переноса погрешностей и сформировывают априорную ковариационную матрицу определяемых характеристик.

Процедура построения эллипса погрешностей по ковариационной матрице сводится к последующему:

· Рассчитываем собственные значения l по формуле (2.29)

· Определяем угол ориентации Априорная оценка точности рассчитанных координат Y по формуле (2.31)

· Рассчитываем полуоси по (2.32)

На рис. 2.5 показана связь меж элементами ковариационной матрицы и эллипсом. Отрезок, заключенный меж касательной к эллипсу параллельной оси Y и самой осью соответствует СКП по широте, либо Отрезок на оси Y , отсекаемый вертикальной касательной соответствует СКП по отшествию

На рисунке также показана Априорная оценка точности рассчитанных координат средняя квадратическая погрешность (СКП) обсервации М, которая рассчитывается, как корень квадратный из следа ковариационной матрицы или при помощи полуосей эллипса:

2.5 Апостериорная оценка точности рассчитанных координат

В априорной оценке использовалась информация о точности, приобретенная по результатам прошлых измерений, а в апостериорной оценке участвуют текущие измерения, т.е. по которым была вычислена Априорная оценка точности рассчитанных координат вероятнейшая точка.

Допустим, что ковариационная матрица погрешностей измерений D известна с точностью до неизменного множителя m2:

,

где матрица K известна, а величина m2 неведома.

Другими словами известны относительные, а не абсолютные значения матрицы D. С учетом этого разглядим систему обычных уравнений:

Подставив заместо D-1 выражение получим:

Величина m2 (дисперсия наблюдения Априорная оценка точности рассчитанных координат с единичным весом) сокращается и решение, в конечном итоге, не находится в зависимости от абсолютной величины частей ковариационной матрицы измерений D . Матрицу K-1 также именуют "весовой" и обозначают через P,а m2 - дисперсией наблюдения с единичным весом. Если m2 не выносилась из D , то весовой будет просто D-1.

Разглядим величину

(2.33)

Она Априорная оценка точности рассчитанных координат представляет собой обобщенную (взвешенную) остаточную сумму квадратов уклонений. Тут M - операция взятия математического ожидания. Упрощенно ее можно рассматривать как отыскание среднего значения .

Разглядим выражение в последней скобке, другими словами пока без операции взятия математического ожидания:

Последнее слагаемое равно 0. Это вытекает из условия (2.17) и видно из рисунка 2.6: векторы Априорная оценка точности рассчитанных координат и ортогональны, а скалярное произведение таких векторов равно 0. Тогда .


Не считая этого:

Во 2-м слагаемом произведение представляет собой правую часть системы обычных уравнений (2.19), тогда заместо нее запишем левую , тогда совсем получим:

(2.34)

По этой формуле можно посчитать значение квадратичного аспекта (остаточную сумму квадратов невязок). Тут DU - вектор, рассчитанный по Априорная оценка точности рассчитанных координат начальным данным Uo-Uc и 1-ое слагаемое в правой части дает значение остаточной суммы в исходной (счислимой) точке, а 2-ое слагаемое уменьшает это значение за счет смещения к хорошей точке на величину .

С учетом взятия операции математического ожидания (2.33) справедливо последующее:

(2.35)

Распишем 1-ое слагаемое:

Правило просто проверяется обычным перемножением матриц Априорная оценка точности рассчитанных координат маленькой размерности.

Распишем 2-ое слагаемое:

С учетом (2.35) получим:

Несмещенная оценка m2 запишется выражением:

Тогда апостериорную оценку ковариационной матрицы погрешности результатов получим последующим

образом:

либо апостериорная ковариационная матрица погрешностей координат рассчитывается через априорную матрицу так:

(2.36)

Пример. Найти координаты места судна и поправку компаса по измерениям 4-х пеленгов. Расчитать элементы априорного и Априорная оценка точности рассчитанных координат апостериорного эллипсов погрешностей координат, и средние квадратические погрешности обсервации.

Задачку решить на плоскости в прямоугольных координатах по инфы представленной ниже ,используя два поочередных приближения.

Окончательный ответ дать в географической системе координат.

Счислимые координаты: x= 8,0 (миль) ; ,y= 4,4 (миль)

Координаты ориентиров Обсервованные пеленги ориентиров СКП измерения пеленгов
xai yai П0 m0
16,3 7,9 25,5 0,2
12,0 9,8 56,6 0,2
5,4 11,8 112,6 0,2
14,2 3,0 350,1 0,2

Решение Априорная оценка точности рассчитанных координат:

1-ая итерация:

1. Записываем навигационную функцию пеленга ( )с учетом поправки Z:

  1. Рассчитываем производные на счислимые координаты , из которых составляем матрицу A.
  2. По навигационной функции рассчитываем счислимые пеленги по счислимым координатам и координатам навигационных ориентиров, полагая поправку Z=0 на первой итерации
  3. Вычисляем вектор свободных членов DU , а так же вектор и вектор координат Априорная оценка точности рассчитанных координат ,и ковариационную матрицу погрешностей координат N.

Вычисления приведены ниже:

Потом из априорной ковариационной матрицы N избираем верхний левый блок N1, который определяет точность координат x,y и по формулам (2.26)-(2.29), находим элементы априорного эллипса погрешностей обсервации и СКП М

Элементы априорного эллипса погрешностей обсервации из N’:

a=98,6 м ; b=35,6 м ; y=139,40; М Априорная оценка точности рассчитанных координат=104,82 м

Элементы апостериорного эллипса погрешностей обсервации из вернего левого блока матрицы (2.36):

a=149,3 м ; b=53,9 м ; y=139,40 ; М=149.30 м

2-ая итерация:

1. Обсервованные коородинаты принимаем за счислимые, т.е. Xc= , и повторяем вычисления по формулам ( 2.20) и (2.26)-(2.29) с расчетом оценки точности координат.

2. С учетом принятых обозначений, а конкретно , определяем географические координаты Априорная оценка точности рассчитанных координат , при узнаваемых географических координатах счислимой точки С (jс, lс):

jо= jс +

lо=lс + cos jm, где jm = (jс + jо)/2 – средняя широта.

2.6 Графоаналитический расчет

  1. На листе миллиметровой бумаги строим систему координат с началом в счислимой точке и избираем масштаб для прокладки.

  2. Производим прокладку линий положения ,используя формулу и получаем фигуру погрешностей координат.
  3. Определяем приращения Априорная оценка точности рассчитанных координат координат каждой из вершин фигуры погрешностей Dxij, Dyij
  4. Любая точка скрещения 2-ух линий положения Оij имеет вес, который можно высчитать по следующе формуле:

, где Мij – средняя квадратическая погрешность точки по двум линиям положения.

  1. Находим средневзвешенное значения приращений координат относительно счислимой точки:

  1. Находим обсервованные прямоугольные координаты, используя формулы (2.8), а так Априорная оценка точности рассчитанных координат же географические координаты по формулам, приведенным во 2-ой итерации.
  2. Для сопоставления ставим точку по первой итерации на диаграмму графоаналитического расчета.


aplodismenti-prezident-proshaetsya-vnov-podhodit-k-dedu-morozu-i-zhmet-emu-ruku-ded-moroz-padaet-v-obmorok-prezident-uhodit-za-kulisi.html
apnoe-soznatelnoe-i-neproizvolnoe.html
apofaza-i-troicheskoe-bogoslovie-referat.html