Апология Бесконечности - реферат

.

Станишевский Олег Борисович

Исследование бесконечности никогда не завершится. зание бесконечности не есть процесс непрерывного скопления познаний о ней, это, быстрее, поэтапный прерывно-исторический процесс. На каждом шаге ее зания раскрываются все новые и новые ее стороны. Бесконечность является базовой гносеологической и онтологической константой. Первым познанием о ней был апейрон Анаксимандра (VI в. до Апология Бесконечности - реферат н.э.), означавший нескончаемое сущее. Представитель позднего пифагореизма Архит Тарентский (IV в. до н.э.) так обосновывал бесконечность мироздания: "Поместившись на самом крае Вселенной ... был бы я в состоянии протянуть свою руку либо палку далее за границы этого края либо нет?" [1, с. 240]. Аристотель, как понятно, опровергал животрепещущую бесконечность. Он Апология Бесконечности - реферат и ввел понятия животрепещущей и возможной бесконечности. Правда, логически не совершенно ясно – как можно гласить о возможной бесконечности при отсутствии бесконечности как такой, другими словами животрепещущей бесконечности. Потом христианство посчитало, что оно решило делему бесконечности, придав ее в качестве неотъемлемого атрибута Богу. позже математика в лице Апология Бесконечности - реферат дифференциального и интегрального исчисления взяла бесконечность на свое вооружение. Так как бесконечность не имела серьезного и точного определения, то в арифметике начали появляться связанные с ней противоречия. Так, к примеру, нескончаемые ряды в арифметике разделили на сходящиеся и расходящиеся, было также легализовано положение о том, что полосы состоят из точек, плоскости – из Апология Бесконечности - реферат прямых и т.д. До Георга Кантора ничего принципно нового в осознании бесконечности не было. Наградой Кантора как раз и является открытие им нескончаемой иерархии алефов (алефы – это нескончаемые катигоричные числа, либо мощности безграничных множеств). Им была сотворена теория нескончаемых множеств. Полностью закономерным было то, что Апология Бесконечности - реферат в ней начали обнаруживаться противоречия. Более известными из их являются парадоксы Рассела. О парадоксах и противоречиях существует довольно широкая литература. Их исследованию посвящены, к примеру, работы [2], [3], [4], [5]. Но противоречия и парадоксы в их не разрешаются, а дискуссируются. Правда, Бурова в [4] справедливо подчеркивает, что ровная не состоит из точек, плоскость не состоит из прямых Апология Бесконечности - реферат, а то, что в арифметике считается, что ровная состоит из точек, является заблуждением. Одним словом, противоречия и парадоксы в теории нескончаемых множеств сохраняются и доныне. За более чем столетнее существование теории (а поточнее – теорий) нескончаемых множеств в осознании бесконечности не много что поменялось. Даже возникновение необычного анализа (см. о Апология Бесконечности - реферат нем в [6]) не занесло полной ясности в осознание бесконечности. Но невзирая на противоречия, математика не собирается отрешаться от "канторовского рая", другими словами от теории безграничных множеств (о нескончаемом и дилеммах бесконечности в доступном изложении см. книги: "В поисках бесконечности", "Рассказы о огромных количествах" – создатель Н.Я. Виленкин Апология Бесконечности - реферат; "Неисчерпаемость бесконечности" – создатель Ф.Ю. Зигель; "Игра с бесконечностью" – создатель венгерская математик Р. Петер).

В ближайшее время появились публикации, направленные на ниспровержение теории нескончаемых множеств и плохо оценивающие самого Г. Кантора и его учение. Эти антиканторовские выступления не беспочвенны и носят очень решительный и бескомпромиссный нрав. Мы тут покажем Апология Бесконечности - реферат несостоятельность схожей антиканторовской тенденции.

Идет речь о публикациях и выступлениях А.А. Зенкина [7], [8], [9]. Ах так он оценивает собственный итог [8, с. 167]: "Таким макаром, в первый раз подтверждено величавое интуитивное провидение (и предостережение!) Аристотеля, Лейбница, Локка, Декарта, Спинозы, Канта, Гаусса, Коши, Кронекера, Эрмита, Пуанкаре, Брауэра, Витгенштейна, Вейля, Лузина и многих других выдающихся Апология Бесконечности - реферат математиков и философов о том, что "животрепещущая бесконечность" является внутренне противоречивым понятием и поэтому его внедрение в арифметике - неприемлимо". Учение же Кантора объявляется вредным (там же): «именно аксиома II Кантора всегда была и остается сейчас единственным(!) основанием для, воистину, вавилонского столпотворения несчетных ординалов и недосягаемых кардиналов современной метаматематики: уберите аксиому Апология Бесконечности - реферат II Кантора, и весь этот искрометный супертрансфинитный "вавилон" рассыпется единовременно, так как самый разговор о существовании безграничных множеств, различающихся по собственной мощности, будет в данном случае смотреться всего только "трансфинитной претензией на пустое глубокомыслие"» и "любознательным патологическим казусом в истории арифметики, от которого будущие поколения придут Апология Бесконечности - реферат в кошмар". схожих мест с негативной оценкой Кантора и его учения в этих статьях очень довольно.

На чем основывается такая отрицательная оценка теории нескончаемых множеств? Основывается она на невозможности обосновать диагональным способом, ну и всеми другими способами, существование безграничных множеств, мощность которых строго больше мощности исходного нескончаемого огромного количества, либо кратко Апология Бесконечности - реферат – отношение "2M >M" для нескончаемого огромного количества M. Суть этой невозможности заключается в последующем. По предполагаемому пересчету нового огромного количества 2M строят новый, "диагональный", элемент, который никаким образом не может содержаться в предполагаемом пересчете. Кантор и все его последователи (в числе их и наши известные арифметики П.С. Александров Апология Бесконечности - реферат, А.А. Мальцев) из этого заключают, что новое огромное количество нельзя перечесть при помощи начального огромного количества M, которым, к примеру, может быть огромное количество натуральных чисел. Но вся популярная теория нескончаемых множеств основывается на теореме бесконечности Дедекинда: "огромное количество является нескончаемым, если и только если оно имеет собственное подмножество Апология Бесконечности - реферат, в которое взаимно совершенно точно отображается данное огромное количество" [10, Т.1, с. 455]. потому, добавляя к хоть какому нескончаемому огромному количеству один новый элемент, мы ничего не меняем – мощность данного огромного количества не поменяется. Как следует, диагональный способ не должен заканчиваться обнаружением элемента, не входящего в предполагаемый пересчет Апология Бесконечности - реферат огромного количества 2M , а должен быть продолжен включением "диагонального" элемента в предполагаемый пересчет и соответственно получением нового предполагаемого пересчета, который уже будет содержать и этот "диагональный" элемент. Но потом может быть получен последующий "диагональный" элемент и эта процедура может длиться нескончаемо, что и значит невозможность обосновать несчетность огромного количества 2M Апология Бесконечности - реферат . Это, в свою очередь, значит не что другое, как невозможность построения канторовской иерархии алефов, из чего Зенкин и заключает о несостоятельности бесконечности и канторовской теории множеств.

Но с таким заключением нельзя согласиться по двум причинам. Во-1-х, отрицание бесконечности и канторовской теории множеств есть просто-напросто последний агностицизм. Если Апология Бесконечности - реферат согласиться с таковой точкой зрения, то из арифметики нужно будет выкинуть многие наинтереснейшие и важные разделы. Потеряем, если можно так сказать, нескончаемо много, а найдем нескончаемо не достаточно. Во-2-х, концептуальные противоречия из теории множеств можно убрать [11]. Мы тут коротко остановимся на устранении только тех противоречий, которые имеют отношение к Апология Бесконечности - реферат разбираемому тут противоречию меж принятым в теории множеств определением нескончаемого огромного количества и диагональным способом Кантора.

Противоречия теории множеств почему-либо принято именовать феноменами. Наверняка, с легкой руки Б. Рассела. И еще поэтому, наверняка, что парадоксы относят к чему-то непознанному и сокрытому и потому их существование в теориях Апология Бесконечности - реферат считают естественным. Но, в конце концов, парадоксы и противоречия должны быть разрешены и устранены из теории. Так как мы тут защищаем право бесконечности на ее существование, то и разберем мы тут только два концептуальных противоречия, имеющих прямое отношение к этому вопросу, хотя, естественно, концептуальных противоречий в теории множеств Апология Бесконечности - реферат существенно больше. 1-ое из их является базовым и представляет собой методологический принцип всей теории нескончаемых множеств. Это – принцип "часть может быть равна целому". 2-ое концептуальное противоречие заключается в фактическом отсутствии определения исходной животрепещущей бесконечности. Разглядим эти противоречия по порядку.

На принципе "часть может быть равна целому" как на незыблемом Апология Бесконечности - реферат фундаменте лежит теорема бесконечности Дедекинда, эквивалентная другим определениям бесконечности (к примеру, в книжке П.С. Александрова [12, с. 21] теорема Дедекинда доказывается как аксиома). Приведем часть тех противоречий теории множеств, которые порождаются этим принципом. Одним из узнаваемых парадоксов является феномен с расходящимися рядами. К примеру, знакочередующийся ряд S=1-1+1-1+... зависимо от Апология Бесконечности - реферат группировки его членов может иметь хоть какое значение суммы S от 0,±1,±2,... до ± ∞. И все поэтому, что при перегруппировке членов ряда количество отрицательных и положительных членов на основании принципа "часть может быть равна целому" может изменяться самым произвольным образом. Молвят также, что подмножество четных, либо нечетных, чисел натурального ряда эквивалентно всему натуральному Апология Бесконечности - реферат ряду. Таковой же парадоксальной является и математика над трансфинитными числами, в какой действуют другие, чем в конечной математике, правила и которые также основываются на принципе "часть может быть равна целому". К примеру, в трансфинитной математике имеют место последующие соотношения: n+ω=ω≠ω+n, 2×ω≠ω+ω=ω×2, ω=n×ω≠ω×n и др. Еще есть правила выполнения арифметических Апология Бесконечности - реферат операций над кардинальными числами, отличающиеся и от правил конечной математики, и от правил трансфинитной математики. Так,

определяющее количество частей в нескончаемом огромном количестве. А такое доказанное Кантором положение, как "число точек отрезка равно числу точек квадрата", так очень воздействовало на арифметику, что принудило в топологии отрешиться от принятого во Апология Бесконечности - реферат всем естествознании параметрического определения размерности пространств и принять на вооружение индуктивное определение размерности, которое определяет континуумы всех размерностей как огромного количества. Все эти парадоксы никак не согласуются с традиционной логикой. в теории множеств с традиционной логикой согласуется как раз только одно – диагональный способ Кантора, так как в нем не Апология Бесконечности - реферат задействовано противоречивое определение нескончаемого огромного количества на базе принципа "часть может быть равна целому". Потому если и есть основания гласить об ошибке Георга Кантора, то не относительно диагонального способа [7], а относительно введенного им в теорию множеств принципа "часть может быть равна целому", который находится в возмутительном противоречии с Апология Бесконечности - реферат традиционной логикой. В [11] предложено отрешиться в теории нескончаемых множеств от принципа "часть может быть равна целому" и соответственно от определения нескончаемого огромного количества по Дедекинду. В итоге в диагональном способе подтверждения дела 2ω >ω уже нельзя будет добавить в предполагаемый пересчет огромного количества 2ω новый, "диагональный", элемент, потому что это добавление согласно Апология Бесконечности - реферат принципу традиционной логики "часть не может быть равна целому" изменит предполагаемый пересчет и превратит его в новое огромное количество, неэквивалентное предполагаемому пересчету. Диагональный способ Кантора, таким макаром, остается неколебимым. Уйдут также из теории множеств и выше перечисленные противоречия, а в нескончаемом будут действовать те же законы традиционной логики, что и Апология Бесконечности - реферат в конечной области.

Любопытно, естественно, задаться вопросом: как и почему большие арифметики обосновывали и передоказывали аксиому Кантора и не замечали противоречия меж определением нескончаемого огромного количества и диагональным способом? Нам кажется, чтопри ее подтверждении, в силу грандиозности последствий аксиомы "2M >M", на время либо "забывали" о принципе "часть Апология Бесконечности - реферат может быть равна целому", либо подсознательно подчинялись принципу "часть не может быть равна целому" и поэтому останавливались на том самом месте диагонального способа, где было надо проверить возможность прибавления нового элемента к проверяемому огромному количеству и повторного построения другого нового элемента и т.д. вероятнее всего, этим и можно разъяснить Апология Бесконечности - реферат ситуацию с диагональным способом. Тут уместно вспомнить Б. Рассела и спросить: почему Рассел заместо того, чтоб разобраться в сути оснований теории множеств и их противоречий, выставлял на фронтальный план следствия из найденных им парадоксов? Почему? Нам кажется поэтому, что критиковать и разрушать всегда легче, чем видеть, что Апология Бесконечности - реферат деконструировать, разламывать легче, чем конструировать. Аналогичным образом обстоят дела и в случае последних антиканторовских выступлений А.А. Зенкина.

В его статье [9] на базе неверных умозаключений также дискредитируется канторовская теория множеств. На наш взор, в ней имеет место самое обычное смешение конечного с нескончаемым [9 с.80-81]. Вправду, там рассматриваются две Апология Бесконечности - реферат знаковые конструкции (5) и (6). Знаковая конструкция (5) – это соответственная запись натурального ряда:

1, 2, 3, ..., w, w+1, w+2, w+3, ...,

где знак w есть случайное конечное натуральное число. Соответственно многоточие меж натуральным числом 3 и натуральным числом w значит, что на его месте находится w-4 натуральных чисел, другими словами полностью определенное конечное количество w-4 натуральных чисел. Знаковая Апология Бесконечности - реферат конструкция (6) – это, как гласит создатель, "именитый канторовский ряд трансфинитных чисел":

1, 2, 3, ..., ω, ω+1, ω+2, ω+3, ..., ω×2, ω×2+1, ω×2+2, ω×2+3, ...

(По сути это не ряд трансфинитных чисел, а нескончаемый ряд порядковых чисел. порядковые же числа содержат в себе и конечные порядковые числа, и нескончаемые, другими словами трансфинитные, числа.) Тут знак ω значит меньшее трансфинитное число. Соответственно многоточия меж числами 3 и Апология Бесконечности - реферат ω, с одной стороны, и меж числами ω+3 и ω×2, с другой стороны, молвят о том, что на месте первого многоточия находится нескончаемое количество конечных натуральных чисел 4, 5, ..., а на месте второго многоточия находится такое же нескончаемое количество трансфинитных чисел ω+4,ω+5,ω+6, ... сравнивая чисто зрительно конструкции (5) и (6), создатель делает последующий вывод (там же с.81): "таким макаром Апология Бесконечности - реферат мы практически выстроили (обосновали построением) 1–1-соответствие меж обилием трансфинитных целых (порядковых) чисел Кантора (6) и обилием всех конечных натуральных чисел с сохранением порядка". Как можно установить (1–1)-соответствие, другими словами взаимно однозначное соответствие, меж обилием конечных чисел (конструкция (5)) и обилием порядковых чисел, включающих в себя конечные порядковые числа и трансфинитные числа Апология Бесконечности - реферат (конструкция (6)), непонятно никому. Потому верно об этом сказано в комменты к данной статье. А установить это соответствие нереально поэтому, что трансфинитные числа конструкции (6) – это порядковые типы счетных полностью упорядоченных множеств, которые составляют несчетное огромное количество [12, с. 69-70]. Создатель же вопреки этому утверждает на с.81, что "Отлично понятно, что Апология Бесконечности - реферат канторовский ряд (6) ... является счетным обилием", чего по сути нет [12, с. 69-70]. А все дело в том, что создатель всеми силами пробует ниспровергнуть бесконечность и поэтому отождествляет конечное с нескончаемым средством выдуманного им (1–1)-соответствия меж конструкциями (5) и (6). При этом, создатель неточен и в том, что конструкцию (6) именует "обилием трансфинитных чисел", хотя в нее входят Апология Бесконечности - реферат и конечные числа (они что – тоже трансфинитные числа?!). Нужно сказать больше. На с.93 в ответе создателя на упомянутый комментарий опять утверждается, что конструкция (6) является счетной. Но это ошибочно! Конструкция (6), как минимум, имеет мощность стандартного континуума ω1 =2ω , о чем молвят и П.С. Александров [12, с. 69 и аксиома 18 на Апология Бесконечности - реферат с. 70], и Ю.И. Манин [13, с. 105]. Это – 1-ое. Во-2-х, создатель напористо утверждает [9, с. 81, 93] об изоморфизме конструкций (5) и (6) с сохранением естественного порядка натурального ряда. Но этого тоже не может быть, так как в конструкции (5) хоть какое натуральное число n (не считая первого) имеет предшественника n-1, а в конструкции (6) имеется нескончаемо много порядковых Апология Бесконечности - реферат чисел (так именуемых предельных) ω,ω×2,ω×3,..., которые не имеют предшественников (см., к примеру, у Ю.И. Манина [13, с. 104] либо в математической энциклопедии [10, Т.4, статья "Порядковое число"]), вследствие чего в конструкции (6) перед предельными трансфинитами ω, ω×2, ω×3, ... есть вроде бы "дырки", либо "темные дыры", в каких содержатся мириады счетно безграничных множеств, а в конструкции (5) таких Апология Бесконечности - реферат нет и потому меж конструкциями (5) и (6) никак не может быть изоморфизма, тем паче, с сохранением естественного порядка натурального ряда.

таким макаром, никакого (1–1)-соответствия меж счетной конструкцией (5) и несчетной конструкцией (6) нет и быть не может. Соответственно нет и быть не может никакой речи о сведении нескончаемого к конечному, что Апология Бесконечности - реферат пробовал сделать Зенкин.

Из всего вышесказанного следует только одно: ниспровержение канторовской теории множеств не имеет под собой никаких оснований. Противоречия? Да – в ней имеются противоречия, но их преодоление и устранение являются полностью посильными и реальными [11].

Перейдем ко второму нареченному нами концептуальному противоречию – фактическому отсутствию определения исходной животрепещущей Апология Бесконечности - реферат бесконечности. Уязвимым в теории множеств является изначальное нескончаемое огромное количество, в качестве которого выступает огромное количество натуральных чисел N=0,1,2,3,...,n,... Оно именуется также счетным обилием. Изучается оно как животрепещущее огромное количество, имеющее мощность ω. Бесконечность ω есть меньшая бесконечность, так как все числа, наименьшие этой бесконечности, входят в огромное количество N, которое содержит в Апология Бесконечности - реферат себе только конечные числа. Известным противоречием является тот факт, что огромное количество N содержит только конечные числа – оно еще именуется обилием всех конечных чисел – и, невзирая на это, постулируется, что оно содержит нескончаемое количество ω конечных чисел. Исходя из убеждений традиционной логики этого не может быть, так как количество Апология Бесконечности - реферат чисел в огромном количестве N должно совпадать с наибольшим числом этого огромного количества, другими словами число ω, либо по последней мере число ω-1, должно заходить в огромное количество N. Но это не так – число ω не заходит в ряд N, оно именуется предельным, к которому стремятся числа натурального ряда, что записывают Апология Бесконечности - реферат как: . При этом, в этой и многих других схожих записях имеет место нечеткость в осознании знаков бесконечности. Так, запись n→∞ должна пониматься просто как фраза "n стремится к бесконечности". Равенство же предела limn трансфиниту ω полностью непосредственно, хотя разумеется, что ω≠∞. Не имея предшественника (число ω-1 в теории множеств запрещено), число ω оказывается и Апология Бесконечности - реферат волшебным, и магическим, и умопомрачительным. Вследствие этого меж числом ω и всеми конечными числами N имеет место "дырка", которая сразу может быть и "темной дырой", в которую могут улетать мириады безграничных множеств N, и "темной антидырой", из которой можно черпать также мириады безграничных множеств. Невзирая на всю эту Апология Бесконечности - реферат экзотику, огромное количество натуральных чисел остается постоянным по собственной мощности, другими словами по собственному количеству частей. Такое положение вещей находится в очевидном противоречии с традиционной логикой, с ее принципом "часть не может быть равна целому". Это, наверняка, и побудило Г. Кантора и Р. Дедекинда ввести в теорию безграничных множеств принцип Апология Бесконечности - реферат "часть может быть равна целому" (этот принцип ввел в обиход еще Николай Кузанский).

Так как мы отказались от этого принципа, то разумеется, что нужно отыскать определение животрепещущей бесконечности, отвечающее реальному положению вещей. А оно, другими словами действительное положение вещей, является последующим. Во-1-х, так как противоречия в нескончаемом проистекают из Апология Бесконечности - реферат-за нарушения принципов традиционной логики, то основным методологическим принципом в определении бесконечности должны быть принципы традиционной логики. Во-2-х, нужно иметь непротиворечивое определение счетного огромного количества. В конце концов, в-3-х, нужно дать точное и ясное непротиворечивое определение исходной животрепещущей бесконечности.

Итак, что все-таки представляет собой счетное огромное Апология Бесконечности - реферат количество? Является ли оно нескончаемым, как это принято, либо же оно по сути является конечным, хотя и неограниченным? То, что это очень принципиально, видно из последующего. Если допустить, что счетное огромное количество является конечным, то тогда снимутся все его противоречия. Во-1-х, оно будет содержать не нескончаемое количество ω частей Апология Бесконечности - реферат, а конечное количество N, которое, как и ω, будет предельным числом для всех конечных чисел, но не нескончаемым, а конечным, при этом таким непостижимо огромным конечным числом, что все конечные числа n будут меньше его, другими словами n

А сейчас покажем, что определение счетного огромного количества как нескончаемого огромного количества ω является фундаментально противоречивым.

Можно, естественно, вспомнить, что счетное огромное количество вначале определяется методом образования его частей n при помощи самого обычного счета Апология Бесконечности - реферат: n=(n-1)+1. И нет никаких аргументов в пользу того, что посреди частей может найтись таковой элемент, который может породить последователя n+1, имеющего нескончаемо огромное значение. Потому и молвят, что ω – это меньшее нескончаемое число, а все числа, наименьшие ω, являются конечными числами. По сути все обстоит не так: посреди чисел стандартного счетного огромного Апология Бесконечности - реферат количества можно отыскать и нескончаемые числа.

Вправду, возьмем и запишем все числа n счетного огромного количества N в обыкновенной двоичной системе счисления: "0"=...000, "1"=...001, "2"=...010,..., "n"=...rl ...r2 r1 r0 (rl =0,1; l=0,1,2,...,L, l – номера двоичных разрядов) и т.д. разумеется, что для записи всех чисел требуется некое количество L Апология Бесконечности - реферат двоичных разрядов. Заранее понятно, что оно меньше нескончаемого количества ω самих чисел n счетного огромного количества N. Да это просто и доказывается – как с внедрением аксиомы Кантора 2ω >ω, так и без нее. Если не использовать аксиому Кантора, то нужно увидеть, что так как все числа счетного огромного количества являются конечными, то Апология Бесконечности - реферат и количество L двоичных разрядов для их записи является конечным. Но в таком случае, как понятно из математики, количество чисел, которое может быть записано при помощи конечного числа L разрядов, равно 2L . Так как L конечное, то и 2L является конечным числом. Но это противоречит тому, что количество всех конечных чисел счетного Апология Бесконечности - реферат огромного количества согласно определению является нескончаемым. При использовании аксиомы Кантора нужно увидеть то, что двоичные разряды rl представляют собой огромное количество L, а все его подмножества – это не что другое как все конечные числа N. Количество же подмножеств огромного количества L равно 2L , которое есть также нескончаемое число Апология Бесконечности - реферат ω, другими словами 2L =ω, откуда конкретно следует, что L должно быть нескончаемым. По аксиоме же Кантора ω=2L >L, другими словами L<ω, что по определению счетного огромного количества означает, что L является конечным и принадлежит счетному огромному количеству, другими словами . Таким макаром, получаем противоречие: из 2L =ω следует, что L является нескончаемым, а из Апология Бесконечности - реферат L<ω – что L является конечным. Это – с одной стороны. С другой стороны можно обосновать, что счетное огромное количество должно содержать нескончаемые числа. Подобно тому, как исходная бесконечность ω есть предел , так и количество разрядов L можно найти как предел , который равен бесконечности, так как функция L(n) является однообразно Апология Бесконечности - реферат растущей. Обозначив этот предел неким нескончаемым числом w и учтя, что w<ω, придем к выводу, что счетное огромное количество содержит и нескончаемое число w<ω, что естественно находится в противоречии с определением счетного огромного количества как огромного количества, состоящего только из конечных чисел.

Как следует, счетное огромное количество является или конечным тогда и никаких Апология Бесконечности - реферат связанных с ним противоречий не существует, или оно является нескончаемым обилием, содержащим как конечные числа, так и нескончаемые, к примеру, число w. Но так как мы не знаем – как из сколь угодно огромного конечного числа n при помощи операции n+1 может явиться нам нескончаемое число ω, то Апология Бесконечности - реферат нужно признать, что счетное огромное количество N является конечным.

Из всего только-только произнесенного мы делаем два базовых вывода. 1-ый вывод: счетное огромное количество N=0,1,2,...,n,... современной стандартной арифметики является конечным обилием, мощность которого равна предельному числу N, не являющимся нескончаемым и которое можно именовать большим конечным числом по Апология Бесконечности - реферат аналогии с тем, как называли его минимальным нескончаемым числом. 2-ой вывод: меньшего нескончаемого огромного количества не существует и не существует его в том смысле, что для хоть какого нескончаемого огромного количества ω существует субстрат-множество w (огромное количество двоичных разрядов), мощность которого w является строго наименьшей мощности ω начального огромного количества. Другими Апология Бесконечности - реферат словами, вместе с известным утверждением теории множеств о том, что "не существует большего нескончаемого огромного количества", имеет место и утверждение о том, что "не существует и меньшего нескончаемого огромного количества". Все эти трудности детально исследованы в книжке [11].

Разумеется, что предельным обилием для всех конечных множеств n является счетное огромное количество Апология Бесконечности - реферат N всех натуральных чисел n и оно есть конечное огромное количество. Для нескончаемых кардинальных чисел wp существует два предельных кардинала: ω+ – больший предельный кардинал, к которому стремятся огромные кардиналы ω1 ,ω2 ,ω3 ,..., и ω- – меньший предельный кардинал, к которому стремятся малые кардиналы ω-1 ,ω-2 ,ω-3 ,... . Все кардиналы, в том числе и конечные кардиналы nk , связаны Апология Бесконечности - реферат меж собой не только лишь известным теоретико-множественным отношением "огромное количество всех подмножеств 2M огромного количества M", да и оборотным этому отношению информационно-субстратным отношением IS=log2 M (личным случаем которого является огромное количество двоичных разрядов для представления того либо другого огромного количества чисел {0,1,2,...}). При всем этом нескончаемый кардинал ω0 =ω является Апология Бесконечности - реферат мощностью исходного нескончаемого огромного количества.

Таким макаром, заместо 2-ух противоречивых оснований теории нескончаемых множеств "часть может быть равна целому" и "счетное огромное количество есть изначальное нескончаемое огромное количество" выдвинуты и употребляются последующие концептуальные положения:

· 1-ое: "часть не может быть равна целому", что на языке множеств значит: никакая собственная часть никакого огромного Апология Бесконечности - реферат количества не может быть эквивалентной самому огромному количеству;

· 2-ое: известное счетное огромное количество натуральных чисел N=0,1,2,... является конечным обилием, имеющим мощность, равную предельному конечному числу N;

· третье: для хоть какого огромного количества существует как известное теоретико-множественное отношение "огромное количество всех подмножеств 2M ", так и оборотное ему информационно Апология Бесконечности - реферат-субстратное отношение "log2 M";

· 4-ое: исходным нескончаемым обилием является огромное количество, имеющее мощность, равную исходному нескончаемому кардиналу ω0 =ω.

С первыми 3-мя положениями мы уже разобрались. Осталось разглядеть 4-ое – какой объект является исходным нескончаемым обилием? Этот объект имеет онтологические основания и, в общем-то, знаком и известен. Он почему Апология Бесконечности - реферат-либо считается вторичным по отношению к стандартному счетному огромному количеству. Получают его последующим образом. Обычно молвят: отложим на прямой x от точки "0" единичный отрезок с концом, обозначенным через "1", от точки "1" отложим очередной единичный отрезок с концом, обозначенным через "2", и так до бесконечности. Приобретенные таким макаром точки на прямой геометрически Апология Бесконечности - реферат иллюстрируют огромное количество натуральных чисел (см., к примеру, [14, с. 33-34]). На самом же деле первичным в знании являются не числа, а ровная, либо одномерный континуум x. Он символизирует первосущную онтологическую бесконечность. Можно сказать, что это о ней гласил Архит Тарентский. Она есть животрепещущая бесконечность, но бесконечность континуальная, в отличие от бесконечности множественной. Вот Апология Бесконечности - реферат ее-то, другими словами прямую x, мы и принимаем в качестве исходной онтологической бесконечности, которую и обозначаем известным эмблемой "∞", придавая ему таким макаром статус определенности. Тут нам довольно ее осознания как нескончаемой величины, либо длины. Эта нескончаемая величина единственна. Вот сейчас, если мы отложим на прямой x единичный отрезок Апология Бесконечности - реферат e и возьмем отношение ∞/e, то получим исходную теоретико-множественную бесконечность ω=∞/e. Это отношение есть животрепещущее разбиение животрепещущей прямой ∞ на ω конечных отрезков e. Оно несет внутри себя глубочайший онтологический и гносеологический смысл дела меж животрепещущим нескончаемым ∞ и животрепещущим конечным e, либо просто – меж конечным и нескончаемым. Разбиение ω порождает почти Апология Бесконечности - реферат все из одного и это почти все есть изначальное животрепещущее нескончаемое огромное количество ω={e1 ,e2 ,...,eω }, состоящее из ω единичных отрезков e. Обо всем этом серьезно говорится в книжке [11].

Апологию бесконечности мы завершим сравнением нескончаемого ряда W всех порядковых чисел с нашим нескончаемым числовым рядом Ω, являющимся развитием и углублением сути Апология Бесконечности - реферат ряда порядковых чисел.

Нескончаемый ряд W порядковых чисел имеет вид:

W={0,1,2,3,...,n,...;

ω,ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,...; ...; ω×n,ω×n+1,ω×n+2,ω×n+3,...,ω×n+n,...; ...

...; ω1 ,ω1 +1,...; ω2 ,ω2 +1,...; ...; ωω ,ωω +1,...; ...}.

Его началом является уже рассматривавшаяся выше знаковая конструкция (6), либо канторовский нескончаемый ряд порядковых чисел. Он обладает уже упоминавшимися выше качествами: за всеми конечными числами n следует меньшее трансфинитное число ω, которое Апология Бесконечности - реферат показывает также количество предыдущих ему конечных чисел. Само же число ω не имеет предшественника, другими словами левого примыкающего с ним числа ω-1. Хоть какое нескончаемое число вида ω, ω×n,ωn , ωω и т.д. является предельным и не имеет предшественника. Не имеют предшественников и все числа, кратные, если можно так сказать, исходной бесконечности Апология Бесконечности - реферат ω. Это означает, что перед всеми этими числами есть "дырки". Молвят, что ряд W не имеет большего нескончаемого числа. Логически это то же самое, что гласить, что огромное количество конечных чисел не имеет большего конечного числа.

Нескончаемый числовой ряд Ω, свободный от концептуальных противоречий, смотрится последующим образом:

Ω={0,1,2,...,N Апология Бесконечности - реферат-1;

N,N+1,...,2N-1;;...; nN,nN+1,...,(n+1)N-1; ;...; 2N -N,2N -N+1,...,2N -1;

ω- =2N ,ω- +1,ω- +2,...,ω-n -1,ω-n ,ω-n +1,...,ω-1 -1,ω-1 ,ω-1 +1,...

...,ω0 -1,ω0 ,ω0 +1,...,ω1 ,...,ωi ,...,ω+ }.

Ряд Ω имеет фундаментальные отличия от ряда W. Во-1-х, он не имеет никаких концептуальных противоречий. А именно, он прост по существу: на нем справедливы принципы традиционной логики и конечной математики. Во-2-х, его счетное Апология Бесконечности - реферат огромное количество является не нескончаемым, а конечным. И в-3-х, ряд Ω не имеет в известном смысле не только лишь большего нескончаемого числа, да и меньшего нескончаемого числа. Данный факт в ряде Ω отражен знаками предельных бесконечностей: ω- – меньшей и ω+ – большей бесконечностей. Его архитектура значительно отличается от архитектуры ряда W и состоит в Апология Бесконечности - реферат том, что ряд Ω может быть разбит на 5 классов:

-начальный класс, он же – счетное огромное количество N=0,1,2,...,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N именуется конечным числом Кагота. Кагот – герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу [15] (Кагот находил числа, которые уже не конечные, но к тому же не Апология Бесконечности - реферат нескончаемые, и считал, что тот, кто отыщет их, будет счастлив и все выяснит). О предельном числе Nздесь говорится, что оно не существует в канторовском смысле, другими словами в том смысле, в каком говорится в известной теории множеств о несуществовании большей бесконечности в ряде W;

-промежуточный класс чисел от N,N+1,N Апология Бесконечности - реферат+2,... до 2N -1, который представляет собой числа, уже не являющиеся конечными, да и не являющиеся еще нескончаемыми. Именуются они числами Кагота;

-класс малых безграничных чисел от ω- =2N ,ω- +1,ω- +2,... до ω0 -1. Меньшее нескончаемое число ω- именуется нескончаемым числом Кагота. О его несуществовании говорится в том же смысле, что и о несуществовании числа N;

-начальное Апология Бесконечности - реферат нескончаемое число ω=ω0 =∞/e. Оно является онтологическим основанием всех нескончаемых кардинальных чисел – и огромных ω1 ,ω2 ,..., и малых ω-1 ,ω-2 ,...;

-класс огромных безграничных чисел от ω+1,ω+2,... до большего кардинала ω+ , о несуществовании которого говорится то же, что и о несуществовании чисел N и ω- .

Из описания ряда Ω видно, что конечные числа связаны с нескончаемыми числами Апология Бесконечности - реферат соотношением ω- =2N , которое именуется теоремой конечного-бесконечного, либо догадкой Кагота.

Если отвлечься от концептуальных противоречий ряда W, то можно отметить последующие его сходства и различия с нескончаемым рядом Ω. 1-ое: все конечные числа в обоих рядах представляют собой, в общем-то, одно и то же счетное огромное количество N, но в Апология Бесконечности - реферат ряде W оно постулируется нескончаемым с мощностью ω, а в ряде Ω оно обосновывается как конечное огромное количество с мощностью N. Не считая этого, число ω в ряде W не имеет предшественника, а число N в ряде Ω имеет в качестве предшественника число N-1 (число N– это (L+1)-разрядное двоичное число 10...00, а число N Апология Бесконечности - реферат-1– это L-разрядное двоичное число 1...11). 2-ое: все числа в ряде W, последующие за конечными числами и наименьшие первого несчетного огромного количества ω1 , являются счетными трансфинитными числами и охарактеризовывают все счетные полностью упорядоченные огромного количества, другими словами это счетно нескончаемые числа, составляющие вкупе с конечными числами несчетное огромное количество мощности Апология Бесконечности - реферат ω1 =2ω [12, с. 69-70]; в ряде же Ω за конечными числами следует класс чисел Кагота, уже не конечных, но к тому же не безграничных, которые вкупе с конечными числами составляют меньшее нескончаемое огромное количество ω- =2N . В неком смысле формально, а конкретно в том смысле, что если числу ω из W сопоставляется число N из Ω, а Апология Бесконечности - реферат числу ω1 из ряда W– число ω- из Ω, то исходная часть ряда W, имеющая мощность и представляющая собой знаковую конструкцию (6), есть такая же исходная часть ряда Ω, которая, но, содержит в себе вместе с конечными числами числа Кагота, не являющиеся еще нескончаемыми, но уже и не конечные, и имеет (предельную) меньшую нескончаемую Апология Бесконечности - реферат мощность ω- . Естественно, это так в том смысле, что не имеет особенного значения – сколько противоречий имеет ряд W – столько же либо на одно больше. Далее в ряде порядковых чисел W идут просто трансфинитные числа, имеющие мощности ω1 ,ω2 ,... . В ряде же Ω за числами Кагота идут поначалу числа малых безграничных мощностей Апология Бесконечности - реферат ω- ,...,ω-2 ,ω-1 , потом – изначальное нескончаемое число ω0 , а за ним – числа мощности ω0 , и только позже уже идут числа огромных безграничных мощностей ω1 ,ω2 ,...,ω+ . как лицезреем, ряд W содержит внутри себя в качестве подмножества лестницу кардиналов ω,ω1 ,ω2 ,..., которая имеет исходный кардинал и не имеет последнего кардинала, ряд же Ω имеет значительно иную лестницу кардиналов ...,ω-2 ,ω-1 ,ω0 ,ω1 , ω2 ,..., которая уже не имеет не Апология Бесконечности - реферат только лишь последнего кардинала, да и первого, что указывает, что огромное количество трансфинитных чисел становится более увлекательным и богатым.

Таким макаром, невзирая ни на какие противоречия, бесконечность во всех собственных ипостасях была, есть и будет. Аристотель гласил: "Infinitum Actu Non Datur!" (животрепещущая бесконечность не существует!), мы же Апология Бесконечности - реферат говорим: "Infinitum Actu Datur!" (животрепещущая бесконечность существует!).

Перечень литературы

1. Чанышев А.Н. Курс лекций по старой философии. М., 1981.

2. Рузавин Г.И. Философские трудности оснований арифметики. М., 1983.

3. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976.

4. .Бурова И.Н. Развитие трудности бесконечности в истории науки. М., 1987.

5. Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. Л Апология Бесконечности - реферат., 1987.

6. Успенский В.А. Что такое необычный анализ? М., 1987.

7. Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора. // Вопросы философии. 2000, №2.

8. Зенкин А.А. Infinitum Actu Non Datur. // Вопросы философии. 2001, №9.

9. Зенкин А.А. Когнитивная визуализация трансфинитных объектов традиционной (канторовской) теории множеств. // Бесконечность в арифметике: философские и исторические нюансы. М., 1997.

10. Математическая энциклопедия Апология Бесконечности - реферат. М., 1977, Т.1, 1984, Т.4.

11. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная суть Бытия. Таганрог, 2003.

12. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.

13. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М., 1979.

14. Волков В.А. Элементы теории множеств и развитие понятия числа. Л., 1978.

15. Рытхэу Ю. Числа Какота. - Избранное Апология Бесконечности - реферат. Л., 1982, Т.2.


apelsin-gorkij-ili-maslo-bigaradii.html
apelsinovie-derevya-simieza-11-glava.html
apelsinovie-derevya-simieza-18-glava.html